2021全国甲卷数学理科答案解析 (2021全国新高考1卷英语)

填空题

题号	答案	解析
1	16	分解因式：4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)
2	sin 60°	三角形中，30°-60°-90°三角形的斜边与对角线的比为 2:1
3	2	对数运算：log2 16 = log2 2^4 = 4

选择题

题号	答案	解析
4	B	圆的面积公式：S = πr^2，r = 5，S = 25π
5	A	函数图像与 x 轴交点的横坐标为 f(x) = 0 的解
6	C	概率公式：P(A∩B) = P(A)P(B|A)

解答题

1

题意：已知直线 l：y = kx + 1 与圆心为 O，半径为 2 的圆相切，求 k 的值。解：设切点为 P(x0, y0)，则：```y0 = kx0 + 1 // 直线方程(x0 - 0)^2 + (y0 - 0)^2 = 2^2 // 圆方程```联立以上两式，得：```(kx0 + 1)^2 + x0^2 = 4k^2x0^2 + 2kx0 + 1 + x0^2 = 4(k^2 + 1)x0^2 + 2kx0 - 3 = 0```由于直线与圆相切，因此判别式为 0：```4k^2 - 4(k^2 + 1)(-3) = 04k^2 + 12k^2 + 12 = 016k^2 + 12 = 0k^2 = -3/4∴ k = ±√(-3/4) = ±i√3/2```

2

题意：已知函数 f(x) = |x| + |x - 2|，求 f(x) 的值域。解：当 x >= 0 时，f(x) = x + (x - 2) = 2x - 2；当 x < 0 时，f(x) = -x + (-(x - 2)) = 2。因此，f(x) 的值域为 [2, +∞)。

3

题意：在平面直角坐标系中，已知点 A(-2, 1)，B(4, 5)，点 C 在第一象限，且 AB = AC。求点 C 的坐标。解：根据距离公式，有：```AB = √[(4 - (-2))^2 + (5 - 1)^2] = 2√13```设 C(x, y)，则：```AC = √[(x + 2)^2 + (y - 1)^2]```由于 AB = AC，因此：```2√13 = √[(x + 2)^2 + (y - 1)^2](x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 26x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 26x^2 + 4x + y^2 - 2y = 21```即：```x^2 + 4x + y^2 - 2y - 21 = 0```这是一个圆的方程，中心为 (-2, 1)，半径为 5。由于点 C 在第一象限，因此：```x > -2y > 1```满足以上条件的点 C 的坐标为：```C(x, y) = (x, y)，其中 x > -2，y > 1```